Ciência

Nova Prova Geométrica do Teorema de Fermat

Nova Prova Geométrica do Teorema de Fermat

No ano passado (2016), no artigo de Engenharia Interessante intitulado "Revolução no Teorema de Pitágoras?", Dr. Luis Teia apresentou a prova do teorema de Pitágoras em 3D. Este ano, Teia explica em seu recente artigo revisado por pares (fevereiro de 2017), intitulado Teorema de Fermat - uma visão geométrica publicado no Journal of Mathematics Research, como esta compreensão 3D do Teorema de Pitágoras forneceu a base geométrica para provar o Último Teorema de Fermat. O Último Teorema de Fermat, também conhecido como conjectura de Fermat, é mais do que apenas triplos, é sobre a natureza fundamental de um número inteiro e seu significado matemático e geométrico. Isso levanta a questão filosófica: O que é uma unidade? Na linguagem da matemática, uma unidade é definida pelo número 1. Na linguagem da geometria, uma unidade é definida por um elemento de comprimento lateral um. A perspectiva de um problema depende da linguagem que usamos para observá-lo, e uma mudança de perspectiva geralmente é tudo o que precisamos para ver a solução.

O que é o teorema de Fermat?

O último teorema de Fermat questiona não apenas o que é um triplo, mas mais importante, o que é um inteiro no contexto de equações do tipo Xn + Yn = Zn. A imagem abaixo mostra de forma pictórica a diferença entre o teorema de Pitágoras e o último teorema de Fermat. Esses dois às vezes se confundem. O último teorema de Fermat é uma conjectura matemática sobre números inteiros, enquanto o teorema 3D de Pitágoras é uma prova matemática e geométrica sobre números reais. O teorema de Pitágoras em 1D é o princípio da soma (ou seja, X + Y = Z). Nele, todos os inteiros formam triplos [por exemplo, 1 + 2 = 3 forma o triplo 1D (1,2,3) enquanto 3 + 4 = 7 forma (3,4,7)]. No meio está o conhecido teorema de Pitágoras em 2D, onde apenas alguns inteiros formam triplos [por exemplo, 32+42=52 forma os triplos 2D (3,4,5)]. O Último Teorema de Fermat afirma que nenhum triplo pode ser encontrado para o teorema de Pitágoras em 3D, ou para qualquer dimensão superior.

O Teorema de Pitágoras em 1D, 2D e 3D, e o Último Teorema de Fermat [Fonte da Imagem:Teia]

O Teorema de Pitágoras 3D

O teorema de Pitágoras em 1D é governado por linhas, enquanto em 2D por quadrados (veja a imagem abaixo). Assim como os quadrados aparecem naturalmente ao transformar o teorema de Pitágoras de 1D para 2D, os octaedros também aparecem naturalmente ao transformar o teorema de Pitágoras de 2D para 3D. Conforme mostrado pelo Dr. Teia (em seu livro publicado em 2015), o teorema 3D de Pitágoras é governado por octaedros. Portanto, qualquer número (real ou inteiro) dentro do teorema de Pitágoras é expressável geometricamente por uma linha em 1D, um quadrado em 2D e um octaedro em 3D. Como essa noção geométrica afeta nossa compreensão dos inteiros e, mais importante, dos triplos?

Teorema de Pitágoras 1D, 2D e 3D [Fonte da imagem:]

Hipótese

A hipótese desta nova prova é que um triplo só existe, se todos os elementos inteiros dentro desse triplo também existirem [por exemplo, 1, 2, 3 para o triplo 1D (1,2,3) e 3, 4, 5 para o 2D triplo (3,4,5)]. Por sua vez, um elemento inteiro só sai se obedecer a duas condições: ele satisfaz o teorema de Pitágoras da respectiva dimensão (Condição 1) e pode ser dividido com sucesso em vários escalares unitários (Condição 2). Portanto, pode-se supor que elementos inteiros não existem se a Condição 1 ou 2 não for satisfeita. Por consequência, se o número inteiro não existe, então os triplos associados também não existem.

O inteiro geométrico

Os inteiros são múltiplos claros de uma unidade. A linha unitária, ou linha de comprimento 1, é o escalar geométrico fundamental que compõe todos os elementos inteiros no universo 1D de Pitágoras. Da mesma forma, o quadrado unitário, ou quadrado do lado 1, é o escalar geométrico fundamental que compõe todos os elementos inteiros no universo 2D de Pitágoras. Geralmente, pode-se concluir que, para que um elemento inteiro exista, ele precisa ser completamente dividido em múltiplos do escalar da unidade fundamental particular para essa dimensão (isto é, linha unitária em 1D ou quadrado unitário em 2D). Em 3D, apesar dos octaedros validarem o Teorema de Pitágoras 3D (satisfazendo a Condição 1), um octaedro com o lado inteiro N não é um múltiplo de octaedros unitários, pois os tetraedros aparecem no meio (consulte a figura abaixo à direita) [não satisfazendo a Condição 2] . Portanto, inteiros geométricos não existem no domínio 3D do teorema de Pitágoras, e nem seus triplos. Isso satisfaz o teorema de Fermat para três dimensões.

A definição geométrica de inteiros em 1D, 2D e não em 3D [Fonte da imagem:]

Dimensões Superiores

A interdependência geométrica entre inteiros em 1D e 2D sugere que todos os inteiros de dimensões superiores são construídos e, portanto, são dependentes, dos inteiros de dimensões inferiores (por exemplo, os quadrados são construídos com linhas). Essa interdependência, juntamente com a ausência de inteiros em 3D, sugere que não há inteiro acima de n> 2 e, portanto, também não há triplos que satisfaçam Xn + Yn = Zn para n> 2.

Conclusão

A solução geométrica para o enigma de Fermat não vem da noção de triplos, mas sim da noção de inteiros. Se inteiros não existem, então também não podem triplos. Infelizmente, a elusividade centenária da prova resulta do uso repetitivo de "ferramentas" disponíveis, em vez de inventar novas ferramentas (o teorema de Pitágoras 3D) para encontrar a solução. A simplicidade desta prova geométrica (fundada na ausência de inteiros dentro do domínio do teorema de Pitágoras para dimensões acima de 2D) nos faz questionar se esta não é a famosa “solução elegante” de que falava Fermat, da qual não deixou nenhuma outra registros, exceto uma nota escrita dizendo:

“Eu descobri uma prova verdadeiramente notável deste teorema, que esta margem é muito pequena para conter.”

- Pierre de Fermat (1665)

Quanto ao Dr. Luis Teia, seu próximo desafio será explicar o significado geométrico da fórmula nas partições do matemático Srinivasa Ramanujan.

VEJA TAMBÉM: Revolução no teorema de Pitágoras?

Assista o vídeo: Homer Simpson vs Pierre de Fermat - Numberphile (Outubro 2020).